Beleolvasó - Marcus du Sautoy: A prímszámok zenéje

Fülszöveg:

Az iskolában a gyerekek megtanulják, hogy a prímszámok csak önmagukkal és eggyel oszthatók. Azt viszont nem tanítják meg nekik, hogy az emberi tudás keresése során a prímek jelentik a legcsábítóbb rejtélyt. Hogyan lehet megjósolni, mikor fog felbukkanni a következő prímszám? Létezik-e olyan formula, amely prímeket tud generálni?

1859-ben Bernhard Riemann német matematikus előállt egy hipotézissel, amely megoldást javasolt a prímszámok eloszlásával kapcsolatos rejtélyre. Mielőtt azonban sejtését bizonyíthatta volna, meghalt, így a rejtély csak fokozódott. Izgalmas könyvében Marcus du Sautoy különc és zseniális tudósok történetét meséli el, akik megszállottan keresik a megoldást, mely idővel olyan sokféle területet forradalmasított, mint az e-kereskedelem, a kvantummechanika és a számítástudomány. Magával ragadóan és lenyűgözően kelti életre a matematikusok világát, annak minden szépségével és titkával.

 

Részlet a könyvből:

A prímszámok a számtan atomjai. A prímek azok az oszthatatlan számok, amelyek nem írhatók fel két kisebb szám szorzataként. A 13 és a 17 prímszám, a 15 viszont nem az, mert felírható 3-szor 5 alakban. A prímek csu­pán elszórt díszek a számok végtelen világának hatalmas területén. A matematikusokat még mindig csodálattal töl­tik el ezek a számok: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23... - időtlen számok ezek, a fizikai valóságtól függetlenül is léteznek. A természet ajándékai a matematikusok számára.

A prímszámok matematikai jelentősége abból fakad, hogy belőlük minden más szám felépíthető. Minden nem prímszám létrehozható ezen prím építőkövek összeszorzásával. A fizikai világ minden egyes molekulája felépít­hető a kémiai elemek periódusos rendszerében szerep­lő atomokból. A prímek listája a matematikusok saját periódusos rendszere. A prímszámok közül a 2, a 3 és az 5 a matematikus laboratóriumában a hidrogén, a hélium és a lítium. Ezen építőkövek használatának elsajátítása reményt nyújt a matematikusoknak arra, hogy segítsé­gükkel új módszereket fedeznek fel utak feltérképezésére a matematika világának hatalmas útvesztőiben.

Látszólagos egyszerűségük és alapvető jellegük ellenére a prímszámok még mindig a matematikusok által vizs­gált legrejtélyesebb objektumok. Egy olyan tudományág­ban, amelynek eltökélt célja a szabályok és a rend keresése, a prímek jelentik a végső kihívást. Elég egy pillantást vet­ni a prímszámok listájára, és rögtön kiderül, hogy lehetet­len megjósolni, mikor fog felbukkanni a következő prím. A lista kaotikusnak és véletlenszerűnek tűnik, egyáltalán nem utal arra, hogy miképpen lehet meghatározni a kö­vetkező számot. A prímek listája a matematika szívveré­se, de a lüktetést egy erős koffeinkeverék diktálja.

Lehet-e olyan formulát találni, amely a listában szereplő számokat generálja, valamilyen varázslatos szabályt, amely elárulja, mi a 100. prímszám? Ez a kérdés évszázadok óta nem hagyta nyugodni a matematikus elméket. Több mint két évezreden át tartó próbálkozás ellenére a prímszámok ellenállni látszanak azon kísérleteknek, hogy valamilyen világos szabályt illesszenek hozzájuk. Számtalan generáció hallgatta a prímszámok dobjának pergését, amint a hoz­zá tartozó számsorozatot üti: két ütés, amelyet három ütés követ, majd öt, hét, tizenegy. Ahogy a ritmus folyta­tódik, könnyű elhinni, hogy a véletlenszerű, mindenféle belső logikát nélkülöző fehér zaj felelős érte. A matematika központjából a mindenben rendet kereső matematikusok csak a káosz hangját hallották ki.

A tudósok képtelenek beismerni: nincs magyarázat arra, hogy a természet milyen módon választotta ki a prí­meket. Ha nem lenne struktúra a matematikában, ha nem lenne benne az egyszerűség szépsége, akkor nem is lenne érdemes tanulmányozni. A fehér zaj hallgatása sosem vált élvezetes időtöltéssé. Henri Poincaré francia mate­matikus így írt erről: „A tudós nem azért tanulmányozza a természetet, mert az hasznos, hanem azért, mert örö­mét leli benne, éspedig azért leli benne örömét, mert gyö­nyörű. Ha a természet nem lenne gyönyörű, nem lenne érdemes megismerni, és ha a természet nem lenne érde­mes a megismerésre, élni sem lenne érdemes.”

Lehetne reménykedni abban, hogy a prímszámok szív­verése a kezdeti ugrálás után megnyugszik. Ám ez nincs így - amint egyre messzebb jutunk a számolásban, úgy tű­nik, a helyzet csak romlik. Íme a prímek a 10 000 000 előtti és utáni száz szám között. Először a tízmilliónál kisebbek:

 

9 999 901, 9 999 907, 9 999 929, 9 999 931, 9 999 937,

9 999 943, 9 999 971, 9 999 973, 9 999 991.

 

De nézzük csak meg, milyen kevés prímszám van a 10 000 000 után következő 100 szám között:

10 000 019, 10 000 079.

 

Nehéz kitalálni egy olyan szabályt, amely képes ilyen mintázatot létrehozni. Igazság szerint a prímek sorozata inkább hasonlít egy véletlen számsorozatra, mint egy szép, szabályos mintázatra. Ahogy 99 pénzfeldobás nem segít a 100. pénzfeldobás eredményének megjóslásában, a prím­számok is látszólag ellenállnak a jóslatoknak.

A prímszámok a matematikusok számára tudomá­nyuk egyik legfurcsább feszültségét testesítik meg. Egy­részt egy szám vagy prím, vagy nem az. Nincs az a pénz­feldobás, mely egy számot hirtelen oszthatóvá tesz egy nála kisebb számmal. Ennek ellenére nem tagadható, hogy a prímek véletlen számsorozatnak tűnnek. A fiziku­sok már hozzászoktak ahhoz a gondolathoz, hogy egy kvantumdobókocka dönti el a világegyetem sorsát, min­den egyes dobásnál véletlenül választva ki, hogy a tudó­sok hol fognak anyagot találni. Azt azonban kissé kel­lemetlen beismerni, hogy olybá tűnik, mintha ezeket az alapvető számokat, amelyeken a matematika alapul, a ter­mészet pénzfeldobással választotta volna ki, minden egyes dobásnál eldöntve az egyes számok sorsát. A véletlen és a káosz a matematikus számára átok.

Véletlenszerűségük ellenére a prímszámoknak - sok­kal inkább, mint matematikai örökségünk bármely más részének - időtlen, univerzális vonásaik vannak. A prím­számok mindig prímszámok maradnak, függetlenül at­tól, hogy eléggé fejlettek vagyunk-e a felismerésükhöz. G. H. Hardy cambridge-i matematikus az Egy matema­tikus védőbeszéde című híres könyvében ezt írta erről: „A 317 nem azért prím, mert mi azt gondoljuk, vagy mert elménk ilyen vagy olyan módon fejlődött, hanem mert az, mert a matematikai valóság ilyen módon épül fel.”

Néhány filozófus kivetnivalót találhat a világ ilyetén platonista felfogásában - az emberi létezésen túli abszo­lút és örök valóságban való hitben -, de az én szemem­ben éppen ettől filozófusok ők, és nem matematikusok. A Beszélgetések az elméről, az anyagról és a matematikáról című könyvben rendkívül érdekes párbeszéd zajlik Alain Connes matematikus és Jean-Pierre Changeux neurobiológus között. A műben szinte tapintható a feszültség, amikor Connes a matematika elmén kívüli létezése mel­lett érvel, a neurológus pedig eltökélte, hogy megcáfolja az efféle gondolatokat: „Miért nem látjuk a n = 3,1416 számot aranybetűkkel az égen vagy a 6,02 x 10²³ számot a kristálygömbben?” - bosszankodik Changeux a matema­tikus azzal kapcsolatos eltökéltsége miatt, amely szerint „létezik az emberi elmétől független, nyers és megváltoz­tathatatlan matematikai valóság”, és ennek a világnak a középpontjában a prímek örökké változatlan listáját ta­láljuk. A matematika Connes állítása szerint „minden kétséget kizáróan az egyetlen univerzális nyelv”. A világ­egyetem másik végén elképzelhető másmilyen kémia vagy biológia, de bármelyik galaxisban számoljunk is, a prím­számok mindig prímek maradnak.

Carl Sagan Kapcsolat című klasszikus regényében az idegenek prímszámok segítségével teremtenek kapcsola­tot a földi élettel. Ellie Arroway, a könyv hősnője a SETI-nél (Search for Extraterrestrial Intelligence) a Földön kívüli intelligencia kutatásán dolgozik, a kozmosz sercegését figyeli. Egy éjszaka, amikor a rádiótávcsövek a Vega felé fordulnak, hirtelen furcsa rezgéseket rögzítenek a háttér­zaj mellett. Ellie pillanatok alatt felismeri a dobpergést a sercegésben. Két jelet egy szünet követ, majd három jel, öt, hét, tizenegy, és így tovább, az összes prímszám egé­szen 907-ig. Aztán az egész kezdődik elölről.

A kozmikus dob olyan zenét játszott, amelyet a Föld­lakók azonnal képesek felismerni. Ellie meg van győződve arról, hogy ezt a ritmust csak intelligens élet hozhatja létre: „Nagyon nehéz elképzelni, hogy valami sugárzó plazma vagy felrobbant galaxis matematikai jelzések sorozatá­nak ilyen szabályosan ismétlődő forrása lehetne. A prím­számokkal akarják felhívni magukra a figyelmünket.” Ha az idegen kultúra az elmúlt tíz év földönkívüli lottójának nyerőszámait sugározta volna, Ellie képtelen lett volna megkülönböztetni azokat a háttérzajtól. Bár a prímszá­mok sorozata éppen olyan véletlenszerűnek tűnik, mint a lottószámoké, az idegenek üzenetének minden egyes szá­mát meghatározza egyetemes állandóságuk. Ez a struktú­ra az, amelyet Ellie az értelmes élet jelzéseiként ismert fel.

A prímszámokkal történő kommunikáció nem csak a tudományos-fantasztikus irodalom sajátja. Oliver Sacks A férfi, aki kalapnak nézte a feleségét című könyvében bemutat egy huszonhat éves ikerpárt, Johnt és Michaelt, akik között a kommunikáció legmélyebb formája hatjegyű prímszámok csereberéjéből állt. Sacks beszámol arról, amikor felfedezte, hogy az ikrek a szoba egyik sarkában titokban prímszámokat cserélnek egymással: „Első pillan­tásra ínyenc borkóstolóknak tűntek, akik ritka ízélményeket osztanak meg egymással.” Sacks először nem érti, mit csinálnak az ikrek. Amikor viszont rájön a kódolt nyelvre, megjegyez egy nyolcjegyű prímszámot, amit kö­vetkező találkozásuk alkalmával váratlanul bedob a társal­gásba. Az ikrek meglepetését mély koncentráció követi, majd boldogan nyugtázzák az újabb prímszámot. Míg a mutatványhoz Sacksnek prímszámtáblázatra volt szük­sége, az ikrek prímgeneráló módszere nyomasztó rejtély. Lehetséges volna, hogy ezek az autista zsenik olyan titkos képlet birtokában voltak, amely elkerülte matematikusok nemzedékeinek figyelmét? Az ikrek története Bombieri kedvencei közé tartozik.

 

A történetet nehéz végighallgatnom anélkül, hogy ne érezném, milyen lenyűgöző és csodálatos az agy műkö­dése. Vajon nem matematikus barátaim is hasonlóan érez­nek? Van sejtelmük arról, hogy mennyire bizarr, meny­nyire bámulatos, sőt nem e világi az ikerpár különös képessége, amely annyira természetes számukra? Tuda­tában vannak annak, hogy a matematikusok évszázadok óta próbálkoznak azzal, amire John és Michael spontán módon képes: prímszámokat generálni és felismerni?

 

Mielőtt bárki megfejthette volna az ikrek titkát, harminc­hét éves korukban szétválasztották őket orvosaik, akik meg voltak győződve arról, hogy privát számnyelvük hát­ráltatja a fejlődésüket. Ha ezek az orvosok hallanák, mi­lyen rejtélyes beszélgetések zajlanak az egyetemek mate­matika tanszékein, talán ezeket a helyeket is bezáratnák.

Valószínű, hogy az ikrek a kis Fermat-tételen alapuló trükköt alkalmazták annak vizsgálatára, hogy egy adott szám prímszám-e. A teszt hasonlít arra, ahogyan autista zsenik képesek gyorsan meghatározni azt, hogy 1922. április 13-a például csütörtökre esett-e - az ikrek ezt a nem mindennapi trükköt gyakran végrehajtották tévémű­sorokban. Mindkét trükk az óra- vagy más néven modu­láris aritmetikán alapul. Még ha nem is állt rendelkezé­sükre prímszámokat előállító varázsformula, képességük így is különleges volt. Mielőtt elválasztották volna őket egymástól, már húszjegyű számoknál jártak, ami bőven felülmúlta a Sacks által használt prímszámtáblázatokat.

A kozmikus prímszámokra utaló jeleket figyelő Sagan-hősnőhöz és a prímszám-ikreket kihallgató Sackshez ha­sonlóan a matematikusok évszázadok óta igyekeztek vala­milyen rendet kivenni a prímszámok zajában. Az egész olyan értelmetlennek tűnt, mint a keleti zene a nyugati fül számára. A 19. század közepén azonban áttörés követke­zett be. Bernhard Riemann teljesen új nézőpontból kezdte vizsgálni a problémát. Az új szemlélettel Riemann kez­dett felfogni valamit a prímszámok kaotikus viselkedését előidéző „rendszerből”. A prímszámok zajos felszíne alatt a mélyben finom és nem várt harmónia rejtőzött. A hatal­mas előrelépés ellenére ez az új muzsika titkainak zömét hallótávolságon kívül tartotta. Riemann, a matematika világának Wagnere nem rettent meg. Merész jóslattal állt elő az általa felfedezett rejtélyes zenével kapcsolatban. Ez a jóslat Riemann-hipotézisként vált ismertté. Aki bebizo­nyítja, hogy Riemann megérzése a zene természetével kap­csolatban helyes volt, magyarázatot fog adni arra, miért keltik a prímek a véletlenszerűség ilyen meggyőző látszatát.

 

A Kiadó engedélyével.